[Феофан Прокопович. Філософські твори. Том III. Математика. Книжка II]
Попередня
Головна
Наступна
Примітки
Книжка друга
СПІВВІДНОШЕННЯ МІЖ ЧИСЛАМИ, ЩО НАЗИВАЮТЬСЯ ВІДНОШЕННЯ І ПРОПОРЦІЯ, І ДЕЯКІ ПРАВИЛА, ЯКИМ ВОНИ ПІДЛЯГАЮТЬ
Ми вже розповіли про природу чисел та їх види, тепер залишається ще сказати про співвідношення між числами, з яких найчастіше зустрічаються відношення і пропорція, що становлять певні співрозмірності, або співвідношення чисел одного з одним. Оскільки пізнання цих співвідношень необхідне для багатьох, в першу чергу геометричних, обчислень і відкриває шлях до розв’язання майже всіх математичних таємниць і загадок, то Евклід у своїх «Основах» спеціально присвятив цьому питанню книжку п’яту, що складається з 34 теорем. Багато додали до цього коментатор Евкліда Христофор Клавій 1 й інші математики. Деякі найголовніші та найуживаніші з цих теорем ми тут наведемо, інші ж, якщо трапляться, будуть зрозумілі самі по собі або з тих правил, що ми тут пояснимо. Вся ця книжка складатиметься з 11-ти розділів, перелік яких подаємо нижче.
РОЗДІЛИ ДРУГОЇ КНИЖКИ
I. Що таке відношення і скільки воно має різновидів?
II. Додавання і віднімання відношень.
III. Що таке пропорція, скільки існує її різновидів і, передусім, про арифметичну пропорцію.
IV. Про геометричну пропорцію і пропорцію гармонійну, або музичну.
VI. Про золоте правило. /29/
X. Про пратило «хибного припущення».
XI. Деякі загадки, або привхідні питання арифметики. \44\
Розділ перший
ЩО ТАКЕ ВІДНОШЕННЯ І СКІЛЬКИ ВОНО МАЄ РІЗНОВИДІВ?
1. Відношення є взаємне кількісне зіставлення двох однорідних величин. Це визначення належить Евкліду і подається у книжці п’ятій «Основ» геометрії. Саме тоді, коли дві якісь величини співставляються щодо кількості, тобто, коли визначають, у скільки разів одна величина більша від другої або менша, або рівна їй, то таке порівняння, або співставлення, називається співрозмірністю, чи, як кажуть інші, відношенням 2. Ми, приєднуючись до більшості, будемо називати це відношенням. Проте важливо, щоб ці величини були однорідними, тобто, щоб лінії порівнювалися з лініями, поверхні з поверхнями, тіла з тілами, числа з числами, міри з мірами і вимірювані величини з вимірюваними величинами, бо, якщо число порівнюватиметься з лінією або лінія з тілом, це не буде відношенням. Так само, якщо будуть порівнюватися будь-які лінії за якістю або іншою якоюсь ознакою, коли, наприклад, обидві вони білі або одна біла, а інша чорна, то це теж не буде відношенням, хоч ми маємо тут однорідні предмети, бо відношення буде тільки тоді, коли мається на увазі кількість.
2. І хоч поняття відношення, за наведеним тут визначенням Евкліда, має настільки широкий обсяг значення, що може бути застосоване навіть до будь-якої неперервної величини, проте ми будемо розглядати відношення лише числове, тобто таке, що існує між числами. Його найпростіше визначити так: числове відношення — це будь-яке взаємне зіставлення двох чисел /29зв./ щодо їх кількості. А, проте, коли ти зрозумієш, що таке числове відношення, тобі стане зрозумілим також і відношення інших величин.
3. Запам’ятай, що ту величину, яку зіставляють з іншою, математики називають антецедент 3, а ту, з якою зіставляють, — консеквент. Ці найменування Івзаємозаміняються, бо при порівнянні величини можуть мінятися місцями.
4. Перший поділ відношень — це відношення раціональні та ірраціональні. Раціональним називають відношення, яке може бути виражене числами: І такими є всі числові відношення. Ірраціональне відношення — це відношення, яке не може бути виражене в числах, як, наприклад, діаметр 4 квадрата і одна сторона того самого квадрата, а також будь-які \45\ інші лінії, бо деякі неперервні величини не можуть вимірюватися числами, як вказують Евклід в десятий книжці «Основ» в останньому її розділі, присвяченому відношенням, і Христофор Клавій у своєму коментарі до цього розділу. Але про це іншим разом. Зараз же йдеться лише про раціональне відношення.
6. Другий поділ відношень — це відношення рівності й нерівності. Відношення рівності — це відношення, при якому дві величини будуть рівні, як 10 і 10, 20 і 20, — про цей вид немає потреби щось пояснювати. Відношення нерівності — це відношення, коли дві величини нерівні, як 10 і 5, 20 і 10, і т. д.
6. Відношення нерівності знову-таки має два види: один називається відношенням більшої нерівності, другий — відношенням меншої нерівності. Відношення більшої нерівності буває тоді, коли більше число відноситься до меншого, а відношення меншої нерівності — коли менше відноситься до більшого.
7. Проте найголовніший і найуживаніший поділ відношень — це такий, за яким відношення більшої нерівності поділяється на п’ять видів: мультиплікатне, суперпартикулярне, суперпартіентне, многократне суперпартикулярне і многократне суперпартієнтне 5. Так само і відношення меншої нерівності можна розділити на ці п’ять видів, якщо додати до назви кожного з них префікс суб-: субмультиплікатне, субсуперпартикулярне і т. д. Адже ці останні відношення нічим не відрізняються від попередніх, /30/ крім того, що тут порівняння відбувається у зворотному напрямі, тобто менше порівнюється з більшим, тоді як там більше порівнюється з меншим. І тому те, що ми скажемо щодо перших, можна віднести й до останніх.
8. Мультиплікатне відношення — це таке відношення більшої величини до меншої, коли більша величина містить у собі менше ціле число разів, як, наприклад: двічі, тричі, п’ять разів, десять разів, (сто разів і т. д., так що більша величина вимірюється меншою. Таким є відношення числа 20 до 4, бо число 20 містить 4 п’ять разів. Це відношення охоплює безліч видів: якщо більша величина містить меншу два рази, вона називається подвійною, якщо три — потрійною, якщо 10 разів — десятикратною, якщо 100 — стократною і т. д.
9. Суперпартикулярне відношення є таке відношення більшої величини до меншої, коли більша величина містить у собі меншу тільки один раз і, крім того, ще якусь одну її частину, тобто половину, або третину, або чверть і т. д. Таким є відношення 3 до 2, бо 3 містить 2 один раз і ще залишається одиниця, яка є половиною 2. \46\
Візьми, наприклад, відношення лінії довжиною 12 п’ядей до лінії 9 п’ядей, адже перша містить другу один раз і ще одну її третину. Це відношення, як бачиш, не може бути записане тільки цілим, а й дробом.
Отже, відношення лінії довжиною 12 п’ядей до лінії 9 п’ядей маємо виразити так: 1⅓, тобто одна і одна третя. У цього виду відношення маже бути безліч різновидів, а саме: коли більша величина містить у собі меншу один раз і зверх того її половину, то таке відношення називається полуторним; якщо один раз і ще третю частину, то таке відношення становить одну і одну третину, якщо четверту частину — одну і одіну чверть, якщо соту — одну і одну соту.
10. Суперпартієнтне відношення буває тоді, коли більша величина містить меншу тільки один раз і, юрім того, кілька якихось її частин, що не утворюють будь-якої однієї певної частини. Таким є відношення 8 до 5, бо 8 містить 5 один раз і ще в одиниці, але це число 3, якщо його множити, не дасть повної частини 5. Я вже сказав, що в суперпартієнтному відношенні ці частини не можуть утворювати однієї певної частини, бо в протилежному випадку більшість відношень, які нам здаються суперпартієнтними, були б в дійсності суперпартикулярними. Як, наприклад, 10 і 8: хоч 10 містить 8 один раз і ще дві частини, тобто /30зв./ 2/8 від восьми, однак, через те що двійка складається з двох одиниць — це буде, власне, ¼ частина восьми, і таке відношення не можна називати суперпартієнтним, бо воно буде суперпартикулярним і дорівнює 1¼ — одній і одній чверті. Ці перші три види відношень прості, останні два види утворюються з цих перших, як само по собі зрозуміло.
11. Мнотократне суперпартикулярне відношення — це відношення більшої величини до меншої, коли більша містить меншу декілька разів і, зверх того, ще якусь її одну частину, як, наприклад, відношення 9 до 4: адже 9 містить 4 двічі і ще одну чверть четвірки. Цей вид відношення може ділитися на багато видів, що називаються по-різному залежно від того, як відносяться одна до одної обидві їхні частини. Так, відношення 9 до 4 має бути виражено так: 2¼ — два і одна чверть.
12. Многократне суперпартієнтне відношення — це відношення, в якому більша величина містить меншу декілька разів і ще кілька її частин (ямі, проте, не утворюють якусь одну частину), як відношення 11 до 3, бо 11 містить три 3 і ⅔ трійки. Треба записати 3⅔ і сказати, що ми маємо в даному разі трикратне відношення і, крім того, ще дві третини.
13. Щоб нам легше і зручніше було записувати і називати ці відношення, зазначимо, що числа, з яких вони склада\47\ються, потрібно звести до найменшого відношення так само, як ми вже це пояснили раніше, коли йшлося про дроби. А зводити їх необхідно методом ділення більшого на менше — і, якщо нічого не залишилося, ти одержиш складне число, яке слід виразити так: постав частку вгорі, а дільник внизу на зразок дробу, бо менше число щодо свого більшого є дріб. Наприклад, ти хочеш виразити відношення 20 до 5: розділи 20 на 5, — вийде 4, отже, запиши 6 4/5, тобто, якщо порівняти 20 і 5, ти одержиш чотирикратне відношення, бо 20 містить у собі чотири п’ятірки. Якщо ж після ділення залишиться остача, зведи її до найменших чисел згідно з правилом 9 шостого розділу. Так, коли ти хочеш виразити відношення, що існує між 15 і 12, поділи 15 на 12 — вийде 1¼ — це суперпартикулярне відношення, що дорівнює одній і одній чверті. /31/
Розділ другий
ДОДАВАННЯ І ВІДНІМАННЯ ВІДНОШЕНЬ
1. Якщо відношень буде багато і ти захочеш виразити всі відношення одним числом, то це можна зробити, додавши їх одне до одного. Додавання відношень відбувається за допомогою множення у такий спосіб: значення першого відношення 7 помнож на значення другого, а добуток цей — на значення третього і т. д. Останній результат покаже суму всіх відношень. Значеннями я називаю в даному разі числа, що виражають відношення. Адже одні числа виражають величини, інші — відношення. Так, коли я кажу про відношення 10 до б, то це подвійне відношенню: 10 і б — числа, що виражають величини, а 2 — число, що виражає відношення. Отже, воно в даному разі буде навиватися значенням відношення. Якщо ти хочеш знайти суму відношень, що існують між 6, 12 і 18, то матимеш тут два відношення — одне між 6 і 12, яке буде подвійним, і друге між 12 і 18, що буде полуторним, — постав тільки значення 2 і 1½. Потім 2 помнож на 1½, — одержиш 6 8. Розмісти це згідно з правилом 13 попереднього розділу так: 6/2 . тобто ми маємо потрійне відношення, бо 6 містить 3 двічі 9. Але запам’ятай, що, коли трапляються мішана числа, їх слід спочатку звести до однорідного дробу за способом, вказаним у розділі про дроби.
2. Щодо віднімання, то тут дія буде протилежною, бо відбувається вона за допомогою ділення. Спочатку розмісти значення відношень так, як було зазначено вище, потім розділи більше на менше. Однак тут, передусім, треба знати, \48\яке з двох відношень більше. Це стане зрозуміло з їх значень: якщо значення виражені цілими числами, тоді те відношення буде більшим, чиє значення виражене більшим числом. Якщо значення виражені дробовими числами, то висновки треба робити на підстава зазначеного правила шостого розділу першої книжки про значення дробів. Якщо це будуть мішані числа, їх слід /31зв./ звести до однорідних дробів,
Розділ третій
ЩО ТАКЕ ПРОПОРЦІЯ, СКІЛЬКИ ІСНУЄ ЇЇ РІЗНОВИДІВ І, ПЕРЕДУСІМ, ПРО АРИФМЕТИЧНУ ПРОПОРЦІЮ
1. Подібно до того, як відношенням навивається будь-яке зіставлення двох величин, так і пропорція 10 — це зіставлення двох відношень. Так, оскільки відношення числа 12 до 4 відповідає відношенню 9 до 3 (бо як 1:2 тричі містить число 4, так і 9 тричі містить 3), то рівність цих двох відношень називається пропорцією. Математики, користуючись повсякденною мовою, звичайно кажуть про це так: «Як 12 відноситься до 4, так 9 відноситься до 3».
2. Пропорція має три різновиди: арифметична, геометрична і гармонійна, або музична.
В. Арифметична пропорція — це коли три чи більше чисел зростають щоразу на одне й те саме число, яким вони й відрізняються одне від одного. Наприклад, такі числа, як 4, 7, 10, 13, 16, з яких кожне більше від свого попереднього на 8.
4. Існують два види цієї пропорції: неперервна та дискретна. Неперервна буває тоді, коли в прогресії чисел немає перерв, а, неперервно йдучи одне за одним, кожне число порівнюється з попереднім, як у наведеному вище прикладі. Дискретна — це така пропорція, в якій трапляються якісь проміжки, як в такому ряді чисел: 4, 7//8, 11//30, 33. Щоправда, кожна пара чисел має одну й ту саму диференцію, проте це не неперервна пропорція: адже 8 не перевищує 7 на стільки, на скільки 7 перевищує 4.
5. Хочеться додати тут ще чотири дуже цікаві правила щодо арифметичної пропорції, взяті з коментарів Христофора Клавія до п’ятої книжки «Основ» Евкліда. Перше з них таке: якщо даються будь-які два числа, то ори додаванні їхньої різниці до більшого числа ти одержиш третє число, арифметичне пропорціональне цим двом і більше від кожного з них. Наприклад, нам дано два числа 4 і 11, різницею яких \49\ буде 7; додай 7 до 11 — одержиш 18, яке перевищує попереднє число 11 на 7. /32/ І так можна продовжувати до нескінченності. Навпаки, віднявши різницю від меншого (якщо тільки її можна відняти), ти одержиш трете пропорціональне число, менше, ніж кожне з двох попередніх 11.
6. Друге правило: якщо ти хочеш встановити середнє пропорціональне будь-яких чисел, додай спочатку їх одне до одного, потім розділи суму навпіл. Ця половина і буде шуканим числом. Нехай дано числа 6 і 30, їхня сума становить 36; поділи це число навпіл — половина його буде 18. Отже, це й є шукане середнє пропорціональне.
7. За допомогою третього правила ти встановиш для будь-яких двох чисел стільки арифметичних середніх пропорціональних, скільки від тебе зажадають. А робиться це так: кожне з двох даних чисел розділи на число, яке буде найближчим більшим числом за число встановлюваних середніх пропорціональних. Наприклад, ти маєш встановити чотири середні пропорціональні для чисел 15 і 100. Тут меншим числом є 4, найближчим більшим за нього буде 5 — на це число ти й розділи 15 і 100. Частки їх постав під ними, кожну під своїм числом, як зображено на поданій нижче схемі [рис. 1].
Рис. 1
Потім підіймайся вище від окремих часток шляхом неперервного додавання так, що спочатку ти додаси кожну частку до самої себе, потім ту саму частку до суми, одержаної від попереднього додавання, потім до наступної суми і т. д. У даних чисел, розділених на 5, часткою меншого числа буде 3, а більшого — 20. Додай спочатку число 3 до самого себе, — буде 6, потім знов 8 до 6, — буде 9 і т. д.
Те саме зроби з числом 20, потім додай окремі числа одного ряду до чисел другого ряду навхрест, тобто більше число одного ряду до меншого числа другого ряду, і найближче, що стоїть під тим більшим числом, до найближчого, що стоїть над цим меншим числом і т. д., як показують лінії, проведені на схемі. Суми, одержані від цих додавань, розмісти між даними крайніми числами по прямій лінії, /32зв./ бо саме вони будуть середніми пропорціональними, і ти одержиш їх стільки, скільки треба було відшукати. \50\
Цей спосіб ми запропонували тут тому, що він дуже зручний і демонструє певну надзвичайно цікаву особливість чисел. Проте те саме ти можеш зробити швидше таким чином: знайшовши, як і раніше, частки, відніми меншу від більшої і різницю додай до меншого крайнього числа — це й буде перше пропорціональне число; якщо до нього додати ту саму різницю, буде друге пропорціональне і т. д., як у цьому легко впевнитися.
8. Щойно вказане правило застосовується тоді, коли знайдена частка може бути виражена цілим числом; якщо вона виражена дробом, то застосовувати це правило не слід.
Тепер послухай про четверте правило, якого треба дотримуватися при виконанні тієї самої дії. Ось воно: візьми замість меншого крайнього члена будь-яке число, наприклад 7, і додай його до будь-якого числа, такого, яке може вимірюватися числом, що буде найближчим більшим від запропонованого числа середніх пропорціональних. А одне число вимірюється другим тоді, коли між ними існує мультиплікатне відношення. Наприклад, ти хочеш знайти два числа, між якими є вісім пропорціональних, і менше крайнє з цих чисел нехай буде 7. В даному разі найближчим більшим за число середніх пропорціональних — 8 буде 9. Візьми яке-небудь число, яке вимірюється 9, тобто яке містить у собі 9 декілька разів, наприклад 27, і додай до нього 7, — буде 34. Отже, ти одержав уже більше крайнє число. Потім відніми менше крайнє число від знайденого більшого, як тут — 7 від 34 — залишиться 27; цю остачу розділи на 9, частка покаже диференцію, якою тут буде число 12 3. Якщо ти додаси це до меншого крайнього числа, то одержиш перше пропорціональне; якщо до нього додаси ту саму диференцію, одержиш друге пропорціональне; додавши до нього знову-таки ту саму диференцію, одержиш третє і так весь час згідно з першим правилом, як ти бачиш на цьому прикладі:
7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34.
Розділ четвертий
ПРО ГЕОМЕТРИЧНУ ПРОПОРЦІЮ І ПРОПОРЦІЮ ГАРМОНІЙНУ, АБО МУЗИЧНУ
1. Геометричною пропорцією називається така, в якій три або більше чисел перебувають в однаковому відношенні одне до одного, як наприклад: 2, 6, 18, 54. Адже тут кожне \51\ наступне втричі більше за попереднє; /33/ 54 тричі містить у собі 18, 18 тричі містить 6, а 6 тричі містить 2. Це і є пропорція у власному розумінні слова.
2. Вона буває двох видів: неперервна і дискретна. Неперервну ми спостерігаємо при числах, що неперервно зростають, а дискретну при таких: 2, 3//12, 18//20, 30.
3. Бажано тут також подати деякі правила Христофора Клавія, з яких, проте, я вибрав лише два, досить цікаві і легкі. Перше правило таке: якщо при даних двох будь-яких числах, що знаходяться у многократному відношенні, ти хочеш знайти інше геометрично пропорціональне їм число, більше від кожного з обох попередніх, то помнож більше число само на себе і добуток поділи на менше, — одержана частка буде шукане пропорціональне число. Бо, наприклад, як 6 перебуває у подвійному відношенні до 3, так і 12 до 6. Якщо ти знову помножиш це число само на себе і добуток поділиш на найближче попереднє число, а саме на 6, то матимеш третє пропорціональне, і так до нескінченності. Якщо при даних будь-яких числах ти хочеш відшукати третє геометричне Іпропорціональне, що буде менше за кожне з тих двох, то ти легко досягнеш цього зворотним способом, зробивши з меншим даним числом те саме, що раніше робив з більшим, а саме: помнож менше число само на себе, а добуток поділи на більше (коли його можна поділити, бо якщо добуток буде менший, ніж більше число, то поділити його можна, лише розбивши на дроби). Одержана частка і буде шуканим пропорціональним числом. Як наприклад: тобі дано два числа — 6 і 18; помнож 6 само на себе, — вийде 36, поділи це на 18, — одержиш частку 12, яка і буде пропорціональним числом, меншим за кожне з двох попередніх. Якщо це число ти знову помножиш само на себе і добуток поділиш на найближче попереднє число, матимеш ще одне пропорціональне, і так до нескінченності.
4. Попереднє правило діє для чисел, що перебувають у мультиплікатному відношенні. Якщо ж ти захочеш знайти інші геометрично пропорціональні числа, то це можна зробити за допомогою такої цікавої і легкої дії: візьми числа, що будуть неперервно пропорціональними і знаходитимуться в такому многократному відношенні, знаменник якого позначає частину або якусь певну кількість частин в да.ному відношенні, і візьми саме стільки цих чисел /33зв./, скільки ти хочеш знайти пропорціональних у твоїй пропорції. Наприклад, ти хочеш знайти сім пропорціональних чисел, що знаходяться у полуторному відношенні 13 (1½). Оскільки знаменник, який позначає тут певну частину, є 2, звернися до многократного подвійного відношення, що починається з 1, і з цього відно\52\шення візьми сім неперервно пропорціональних чисел, а саме 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64. Останнє з них — 64 буде першим шуканим пропорціональним числом. Щоб ти підшукав для нього друге пропорціональне, знайди спочатку найменші члени в даному відношенні, тобто перші, починаючи від 1, які будуть у подвійному суперпартієнтному відношенні з 2/5. Найменшими членами в даному випадку будуть 5 і 12, бо попереду них немає чисел, які мали б таке саме відношення. І в наведеному вище прикладі такими найменшими членами є 2 і 3. Відшукавши числа, помнож спочатку перше, раніше знайдене пропорціональне число, на більше з них, тобто 64 помнож на 3, — буде 192. Потім цей добуток поділи на менше з тих найменших, тобто на 2, — одержиш частку 96. І це вже буде друге шукане пропорціональне, бо 96 перебуває у полуторному відношенні до 64. Якщо його знову помножити на більший з тих самих членів і поділити на менший з них, одержимо третє пропорціональне, і так продовжуй весь час, аж поки відшукаєш сьоме пропорціональне число. Так, в даному приклада іпропорціональними будуть такі сім чисел: 64, 96, 144, 216, 324, 486, 729.
Тут найдивнішим здається те, що ти за допомогою даного способу не можеш відшукати членів більше, ніж підказало тобі твоє бажання. Адже ти не знайдеш ані числа, меншого за перше з них, ані числа, більшого за останнє, бо тоді дія припиниться і одразу з’являться дробові числа. Багато ще буде сказано про геометричну пропорцію у правилах, які ми далі пояснимо
5. Гармонійна, або музична, пропорція — це пропорція, в якій три числа розміщені у такий спосіб, що відношення найбільшого до найменшого таке саме, як відношення диференції між двома більшими до диференції між /34/ двома меншими 14. Наприклад, ти маєш три такі числа: 3, 4, 6. Тут між двома більшими — 4 і 6 буде диференція 2, а між двома меншими — 3 і 4 диференція 1. Отже, ти бачиш, що як 2 більше за 1 удвічі, так і 6 більше число — більше від меншого числа 3 теж удвічі. Ця пропорція називається гармонійною, або музичною, тому, що числа, які входять до її складу, перебувають здебільшого у таких відношеннях, як і музичні співзвуччя.
6. Подаємо правило того самого автора 15 й щодо цієї пропорції. Правило це дуже цікаве, легке і завжди викликає здивування. Три числа гармонійної пропорції можна відшукати з трьох будь-яких чисел арифметичної пропорції так: перше арифметичне пропорціональне число треба помножити на друге арифметичне — і добуток буде першим гармонійним числом. Потім те саме перше арифметичне помнож на трете \53\ арифметичне — добуток буде другим гармонійним числом, а тоді вже друге арифметичне помнож на третє арифметичне — і добуток буде третім гармонійним числом.
Це видно з такої схеми:
арифметичні 1, 2, 3 3, 7, 1 4, 6, 8 10, 60, 110
гармонійні 2, 3, 6 21, 33, 77 24, 32, 48 600, 1100, 6600
Розділ п’ятий
ПРО ЧИСЛОВУ ПРОГРЕСІЮ
1. Числова прогресія — це не що інше, як будь-який ряд, який складається з багатьох чисел, що мають одну й ту саму диференцію або перебувають в однаковому відношенні одне до одного, тобто коли ці числа утворюють неперервну арифметичну або неперервну геометричну пропорцію. Тому прогресія буває двох видів: арифметична й геометрична. Для обох видів прогресії ми зазначимо тут правила, які полегшують складання багатьох чисел в одну суму. Це можна було б виконати, звичайно, і шляхом додавання, але то велика й нелегка робота. Отже, тут ми вказуємо скорочений спосіб такого додавання. /34зв./
СУМА АРИФМЕТИЧНОЇ ПРОГРЕСІЇ
2. Перше, що слід зробити при знаходженні суми арифметичної прогресії, — це підрахувати, скільки місць займають дані числа.
3. Далі, якщо прогресія складається з непарних чисел, починаючи з 1, то число місць треба помножити само на себе, — матимеш шукану суму. Наприклад, дано такі числа: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13. Вони займають сім місць, отже помнож 7 на 7, тобто узнай, скільки буде 7 разів по 7 — знайдеш число 49 — це й є сума всіх чисел.
4. Якщо ж прогресія починається не з 1 або не всі числа непарні, тоді подивись спочатку, яке буде число місць, парне чи непарне. Якщо непарне, додай перше число прогресії до останнього і суму помнож на число місць, а добуток поділи на 2 і одержиш суму прогресії. Нехай дано такі числа: 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20. Додай 2 до 20, — буде 22; помнож на 7, бо таке тут число місць, — одержиш 154; поділи це на 2, — частка буде 77. Це й є сума всіх чисел. \54\
5. Якщо число місць буде парне, тоді знову перше число додай до останнього і суму помнож на половину числа місць, І у такий спосіб ти точно встановиш шукану суму. Наприклад, треба розв’язати питання, скільки всього ударів робить годинник протягом дня і ночі — від 1-ї години до 24-ї. Додай 1 до 24, — одержиш 25; місць же тут буде стільки, скільки годин, тобто 24. Поділи це число навпіл, — матимеш 12, потім помнож 26 на 12 і одержиш 16 300. Отже, стільки було всіх ударів годинника.
6. Цікавим також є знаходження числа місць арифметичної прогресії, коли даються лише її перший та останній члени, а також диференція, на яку всі числа даної прогресії поступово зростають. Наприклад, ми ставимо таке питання: якась людина має багато коней, і всім їм різна ціна; /35/ так, найгірший коштує 4 золотих, а найкращий — 55 золотих, і ціна від першого, найдешевшого, весь час підіймається поступово від одного до другого коня на 3 золотих. Питаємо: скільки ж усього було коней? Ти бачиш, що перше число тут 4, останнє 55, а диференція 3. Зроби так: перше відніми від останнього, як тут 4 від 55, — залишається 51; те, що залишилося, поділи на диференцію, як тут 51 на 3, — буде 17. Потім до частки додай 1, як тут, якщо до 17 додати 1, — буде 18. Отже, стільки всього було коней,
СУМА ГЕОМЕТРИЧНОЇ ПРОГРЕСІЇ
7. Суму геометричної прогресії шукають у такий спосіб: якщо це будуть числа, що перебувають одне з одним у подвійному відношенні і починаються з 1, то спочатку слід подвоїти крайнє більше число і від добутку відняти 1. Те, що залишиться, і є шукана сума. Наприклад, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Після подвоєння 128 вийде 256; відкинь від цього 1 — залишиться 255. Це й є сума всіх чисел,
8. При всіх останніх видах відношень треба робити так: відніми крайнє менше число від крайнього більшого і ріаницю поділи на число, що є найближчим меншим від знаменника даного відношення (знаменником є число, від якого дане відношення одержало свою назву, як, наприклад, потрійне — від 3, чотирикратне — від 4 і т. д., про що йшлося вище). Додавши до частки більше крайнє число, матимеш суму 17. Наприклад, 3, 12, 48, 192, 768, 3072, 12288, 49152. Знаменником відношення є 4, відніми 3 від 49152, — залишиться 49149. Розділи це на 3, тобто на число, менше на 1 від знаменника, — частка буде 16383. Якщо додаси до неї крайнє більше число, матимеш суму всієї прогресії 65 535. \55\
Розділ шостий
ПРО ЗОЛОТЕ ПРАВИЛО
1. Тепер я розповім про відоме чудове й гідне найвищої хвали правило /35зв./ геометричної пропорції, яке через свої переваги та вигоди цілком слушно одержало назву золотого правила, бо воно заслуговує на те, щоб бути написаним золотими літерами, настільки велике його значення в геометрії, астрономії й у всіх інших галузях математики. Золоте правило пояснює, як при даних трьох числах знайти невідоме четверте число, яке так само відноситься до третього, як друге до першого. Тому воно у широкому повсякденному вжитку називається правилом трьох. Це правило має три різновиди, а саме: воно буває пряме, зворотне і складне. Спочатку скажемо про пряме.
2. Щоб навчитися застосовувати це правило, треба знати, як відбуваються розміщення і дія. Розміщення тут таке: два з трьох даних чисел, які позначають ту саму річ, розмісти на крайніх місцях, а посередині постав третє число, що позначає іншу річ. Зроби це у такий спосіб: на першому місці постав число, до якого відноситься інше, а на третьому те інше, з яким ми пов’язуємо наше питання; те число, що залишиться, постав посередині. Наприклад, якщо ми маємо відповісти на таке питання: за 3 місяці виплачено 20 золотих, скільки треба виплатити за 9 місяців? Розмісти це так:
місяці | золоті | місяці
3 | 20 | 9
3. Дія відбувається у такий спосіб: помнож третє число на середнє, а добуток поділи на перше, — частка покаже шукане четверте число, пропорціональне до третього. Як бачиш, це справа легка, на неї не треба витрачати багато часу, а користь вія цього величезна. Так, у даному прикладі помнож 9 на 20, — вийде 180. Поділи це на 3, — одержиш частку 60. Є також інші способи виконання цієї дії, та для скорочення я їх пропускаю. І це все щодо золотого правила. Проте слід тут застерегти проти деяких ускладнень.
4. Передусім, якщо після ділення буде остача, то на неї має ділитися вся та річ, яка позначається четвертим числом. Так, якщо за 5 днів виплачують 8 флоринів, ми питаємо, скільки буде виплачено за 368 днів. Зробивши необхідні обчислення, ми одержимо після ділення 588 флоринів, але зверх частки залишиться остача 4. Отже, оскільки четвертим \56\ числом (яке ти шукаєш) позначаються флорини, поділи флорин на його менші частини, наприклад на 30 грошів, бо саме стільки грошів містить 1 флорин. Потім 30 помнож на 4, — вийде 120. Цю суму поділи на той самий дільник 5, — вийде частка 24, отже, за 368 днів /36/ буде виплачемо 588 флоринів і 24 гроші. Якщо ти захочеш розбити флорин на 20 частин, тобто на богеми, то залишиться зверх частки в даному прикладі 16 богемів. Якщо розіб’єш на десяті частини, залишиться 8 і т. д. Я кажу це для того, щоб ти знав, що можеш за своїм власним бажанням поділити предмет, позначений четвертим числом, на які завгодно частини, аби тільки число їх не було меншим за перше число, тобто за дільник.
5. Як ми вже зауважували при поясненні цього правила, перше і третє числа, а також друге й четверте мають позначати не різні речі, а однорідні, що мають ту саму назву. Так, якщо буде стояти питання: «За один рік я виплачую 80 золотих, скільки маю виплатити за 7 днів?», то ці числа не можуть бути розміщені в такому поєднанні одне з одним, бо перше позначає рік, а третє — дні. Якщо б довелося тобі відповідати на таке питання, поділи більший предмет на такі частини, які позначені третім числом, як тут: рік — на 365 днів, а тоді вже обчислюй.
6. Якщо тобі зустрінуться мішані числа, тобто цілі, поєднані з дробовими, зведи їх до однойменних дробів 18 і виконуй дію за вказаним вище способом.
7. Якщо будуть перше число ціле, а третє дробове чи мішане, або обоє чисел дробові, але з різними знаменниками, зведи їх, передусім, до одного знаменника згідно з правилом 13, поданим у шостому розділі першої книжки, і після цього вже виконуй дію. Я тут нагадую знову про перше і третє числа, бо вони мають бути в усьому подібними одне до одного, хоча й нерівними.
8. Перевірка правильності дії при застосуванні золотого правила дуже проста: помнож четверте знайдене число на перше і, якщо добуток буде рівним добутку, одержаному, від перемноження третього на друге, то дія виконана правильно. Ця перевірка грунтується на тій властивості чотирьох пропорціональних чисел, яку сформулював Евклід у книжці сьомій «Основ» геометрії (теза 19), а саме; «Якщо чотири числа будуть пропорціональні, тоді число, яке одержують від перемноження першого на четверте, дорівнюватиме числу, одержаному від перемноження другого на третє». Приклад візьми з дії 3, виконаної і вище [рис. 2]. /36зв./
9. Обернене золоте правило — це таке, за допомогою якого шукають четверте число, що буде у стільки разів менше, у скільки разів третє число більше 19.
Рис. 2
В попередньому правилі \57\
відношення було протилежним — там четверте число відносилося до третього так само, як друге до першого. Тут зовсім інакше: як третє відноситься до другого, так перше має відноситися до четвертого, яке ми шукаємо. Це стане тобі зрозуміло з такого прикладу: «Фортеця з 3-тисяч>ним гарнізоном опинилася в облозі, солдати мають запасів провіанту лише на сім місяців, однак немає ніякої надії на те, що їм пощастить звільнитися від облоги раніше, ніж через рік, Запитуємо: скільки можна залишити солдатів у фортеці, відпустивши останніх, щоб їм вистачило харчів на рік?»
Розмісти числа так, як було сказано раніше:
місяці | солдати | місяці
7 | 3000 | 12
Потім за способом, протилежним попередньому, помнож перше число на друге, добуток розділи на третє, — одержана частка і буде четвертим пропорціональним, яке ми шукаємо, як в даному прикладі: 7 помнож на 3000, — це дасть число 21 000. Розділивши його на 12, одержиш 1750. Отже, стільки солдатів можна залишити.
10. Перевірка цього правила робиться так: перше число множать на друге, а третє на четверте. Якщо обидва добутки будуть однакові, значить обчислення правильне. Ми розповіли тут про золоте правило, яке називається простим тому, що застосовується тоді, коли пропорція має прості члени; воли ж пропорція має окладні члени, тобто, коли перше і третє числа або навіть і середнє позначають не один предмет, а багато, тоді правило називається складним. Але про це скажемо окремо.
Розділ сьомий
ПРО ПОДВІЙНЕ ПРАВИЛО. /37/
1. Подвійне правило, як й інші, що мають бути викладені нижче, грунтується на золотому правилі. Застосовується воно тоді, коли на першому і третьому місцях стоять двоякі числа: одне — більш важливе, друге — менш важливе. Важливе — це те, що означає основну річ або предмет, менш важливе означає якусь властивість речі. На прикладі це легше буде зрозуміти. Припустимо, що треба розв’язати таку задачу: «Двом солдатам за дві частини року виплачують \58\ 60 золотих; запитується, скільки золотих виплатять 1500 солдатам за чотири частини року». Тут на першому і третьому місцях стоять числа, що позначають кількість солдат, і вони є важливими, а числа, які позначають обставини часу, тобто частини року, — менш важливими.
2. Дія, яку треба виконати, дуже легка, а саме: окремо розмістити важливі числа й окремо ті, що означають обставини. І оскільки ці числа є членами пропорції, яка підлягає подвійному правилу, виконай дві дії: спочатку збери в одне місце всі головні члени, потім, знайшовши після першої дії четверте число, розмісти його як середнє між обставинами і продовжуй дію. Другу дію слід виконувати просто, за золотим правилом. Проілюструємо це на прикладі. Числа, дані тобі в запитанні, розмісти так:
головні | 2 | 60 | 1500
обставини | 2 | __ | 4
Помнож спочатку 1600 на 60 — вийде 90000. Поділи це на перше число 2 — і частка буде шуканим пропорціональним числом — 45 000. Тепер це число постав як середнє між двома іншими, які позначають обставини, тобто між 2 і 4, і продовжуй дію у такий спосіб: помнож 4 на 45000, — вийде 180000, потім розділи це на 2, — буде 90 000. Це й є сума, яку ми шукаємо.
3. Однак уважно придивись, яким правилом — прямим чи оберненим — слід користуватися при обчисленні. Бо, якщо прямим, то обчислюй, як при прямому, а якщо оберненим, — тоді роби ще, як при оберненому. Наприклад, коли б стояло таке питання: «/37зв./ 20 женців протягом 7 днів вижинають 15 югерів. За скільки днів 16 женців вижнуть 20 югерів?» Знай, що тут треба застосувати обернене правило, бо, у скільки разив більшим є третє число, у стільки разів меншим має бути четверте. Так і тут: у скільки разів більше женців, у стільки разів менше днів треба, щоб закінчити роботу.
Розділ восьмий
ПРО ПРАВИЛО СУМІШІ
1, Правило суміші — це правило, за допомогою якого різні речі з різним значенням об’єднуються в одну річ, що має якесь одне значення, або ціну, за яку можна купити дану суміш. Робиться ще у такий спосіб, щоб, установивши якусь середню ціну, всі інші ціни можна було порівняти з цією середньою. Наприклад, аптекар хоче зробити арома\59\тну речовину або ліки з перцю, цукру, цинамону та імбиру. Унція перцю коштує 25, цукру — 24, цинамону — 22, імбиру — 18, і він хоче, щоб лаки, зроблені з цієї суміші, коштували в цілому 23 [гроші]. Скільки треба покласти в цю суміш унцій перцю, цукру, цинамону і імбиру? Щоб розв’язати це питання, слід, передусім, знати, як розмістити всі ці числа. Отже, розміщення має бути таке:
2. На першому масці постав загальну ціну, а саме 23, тобто стільки, скільки коштуватиме вся ароматна суміш, і це число називається середнім. Потім на другому місці розмісти числа, що позначають окремі ціни, і постав їх одне під одним, але у такий спосіб, щоб менше і більше з них були на крайніх місцях, а останні — посередині. Після цього кожне число зокрема порівняй з запропонованим середнім, запитуючій, на скільки ці окремі числа відрізняються від середнього, і, знайшовши різниці оиремих чисел, постав їх на третьому місті навперемінно, тобто різницю більшого — поруч з меншим, а різницю останнього — поруч з більшим [рис. 3]. /38/
Рис. 3 Рис. 4
Ти бачиш, що тут одне число пов’язане з другим тим, що різниця одного стоїть проти другого, а різниця другого — проти першого. Так слід пов’язати всі ці числа одне з одним, принаймні для якогось одного певного випадку (адже між цими числами , можна встановлювати й інші різні зв’язки, і тоді навіть одне й те саме питання доводиться розв’язувати кожного разу по-різному). Записавши числа так, як ми щойно зазначили, склади всі різниці в одну суму і розмісти її вже в іншому порядку, який буде придатний для застосування золотого правила, а саме: постав її на першому місці, на другому треба записати число, що позначає будь-які суміші, — у даному прикладі це буде 1, бо роблять одну ароматну суміш. На третьому місці розміщають усі різниці і виконують дію згідно з прямим золотим правилом стільки разів, скільки є різниць. Результати записують на четвертому місці. Так, як у даному [рис. 4] прикладі.
Це правило заплутане й незручне і вживається досить рідко, але, щоб не здавалося, що ми щось пропустили, ми вважали за необхідне згадати також і про нього 20. \60\
Розділ дев’ятий
ПРО ПРАВИЛО ТОВАРИСТВА
1. Правило товариства, або співучасті, — це таке правило, за яким прибуток, або дохід, або втрата від трьох чи багатьох різних сум, складених в одну, розподіляються так, що для кожної суми призначається відповідне і пропорціональне їй число. Це стане зрозуміло з такого прикладу: три купці внесли в один пай нерівні грошовії внески — один дав 3000, другий — 2000, третій — 1000 золотих. Ця грошова сума створила прибуток в 9000 золотих. Постає питання, скільки одержить кожен з них. Адже не можуть одержати порівну ті, хто порівну не давав, бо кожен повинен отримати прибуток, пропорціональний до внесеної ним суми.
2. Розміщення тут має бути таке: склади дані суми за допомогою додавання. У цьому прикладі сума після складання всіх чисел буде /38зв./ 6000. Постав її на першому місці, прибуток — на другому, а на третьому — суми окремих співучасників, одну під одною, і виконуй дію згідно з прямим золотим правилом стільки разів, скільки є окремих грошових сум, зібраних в одну. Так, у даному прикладі дію слід повторити тричі:
3000 — 4500
6000 — 9000: 2000 — 3000
1000 — 1500
Це означає, що той, хто вніс 3000, має одержати прибуток 4500, хто вніс 2000, тому припадає 3000, а хто 1000, тому — 1500.
3. Якщо гроші були внесені не одночасно, а один, наприклад, дав на три місяці раніше, другий на два місяці раніше і т. д., тоді спочатку грошові внески окремих співучасників треба помножити на час, коли вони їх вносили, і, помноживши, скласти в одну суму, яку й поставити на перше місце, прибуток — на друге, а на третє знову-таки ті окремі грошові суми, помножені кожна на свій час, і після цього дія виконується як звичайно.
4. Перевірка виконання цієї дії досить легка: склади в одну суму всі чотири пропорціональні, які ти шукав і знайшов, і, якщо вийде сума прибутку, то дію ти виконав правильно. Як у прикладі: 4500, 3000 і 1500, складені разом, дають 9000. Це й було спільним прибутком. \61\
Розділ десятий
ПРО ПРАВИЛО «ХИБНОГО ПРИПУЩЕННЯ»
1. Це правило називається правилом «хибного» або «помилкового припущення» не тому, що воно вчить про помилки, а тому, що вказує, як від помилкового, хибного припущення прийти до правильного розв’язання. І це, безперечно, чудове правило, бо за його допомогою можна розв’язати найскладніші питання. Адже воно дає змогу відшукати будь-яке невідоме число не лише з відомих чисел, як це буває при золотому правилі, а й з невідомих чисел. І робиться це теж за допомогою золотого правила. Щоб краще зрозуміти застосування цього правила, поставимо таке питання: «Троє людей разом мають певну грошову суму, проте сума грошей кожного з них нехай буде мені невідома, а відома лише спільна сума кожних двох. Наприклад, перший з них каже, що його гроші разом з (грішми другого складають 50 золотих, другий каже, що його гроші разом з грішми третього становлять 70 золотих, і, нарешті, третій /39/ каже, що його гроші разом з грішми першого становлять 60 золотих. Виникає питання, яку грошову суму має кожен з них». Спочатку припусти, що перший має якусь певну суму грошей, яку ти встановиш навміання за своїм власним розсудом, і додай до неї стільки, скільки треба, щоб одержати зазначену тут спільну суму першого і другого. Це додане тобою число і буде сумою другого. Потім до цього останнього числа додай знову стільки, скільки треба, щоб одержати вказану тут суму другого і третього, разом узятих, — і це друге додане число буде грошовою сумою третього. Якщо воно разом з сумою першого утворить зазначену вище спільну суму, значить ти випадково, без усякого обчислення, натрапив на істину 21.
Так, наприклад, яищо у відповідь на поставлене питання ти скажеш, що перший має 20 золотих, то додай до них 30, бо цей доданок утворить спільну суму грошей першого і другого, а саме 50. І це додане тобою число 30 буде грошовою сумою другого. Додай так само до 30 золотих 40, адже стільки потрібно додати, щоб вийшло 70, тобто зазначена сума грошей другого і третього. Це додане число, а саме 40 буде грошовою сумою третього. Склади цю грошову суму третього з грошовою сумою першого, і, якщо вийде вказана сума, значить, ти випадково вже знайшов те, що шукав. Як у даному \62\ прикладі, 40 і 20 складають 60, що й було зазначеною сумою третього і першого. Отже, можеш відповісти: перший має 20, другий — 30, третій — 40. Однак це, як я вже казав, ми зробили би без всяких обчислень. І все-таки спочатку таке припущення слід робити для того, щоб навіть у випадку, коли ти не вгадаєш дійсного числа, ти мав би таке «хибне припущення», за допомогою якого міг безпомилково встановити дійсне число. Розповімо, у який спосіб це робиться.
2. Якщо ти одразу не натрапив випадково на дійсне число (а це виявиться при складанні сум першого і другого, другого і третього, третього і першого, а саме: якщо сума третього, приєднана до суми першого, буде менша або більша за вказану вище суму першого і третього), тоді треба застосувати правило «хибного припущення», яке містить у собі такі дві настанови:
1. Для розв’язання вказаного питання візьми знову-таки навмання ще якесь інше число і перевір його тим самим способом, як і раніше. Яищо й це друге припущення виявиться неправильним, ти матимеш вже два помилкові припущення У кожному з ник додивись, на скільки спільна сума третього і першого, одержана після підрахунку, відрізняється від зазначеної вище суми першого і третього, або перевищуючи її, або не досягаючи її ріння. /39зв./ Так, якщо у поставленому тут питанні ти припустиш, що шуканим числом є 30, то другий матиме 20, третій — 50. Проте ця сума третього разом з сумою першого — 30 дасть 80, а не 60, як було зазначено. Отже, ти бачиш, що тут об’єднана сума третього і першого вийшла більшою, ніж та, що була визначена раніше: адже вказувалася сума 60, а тут вийшло 80, що відрізняється від числа 60 на 20, яке буде тут надлишком. Якщо ж ти візьмеш інше число, наприклад, 40, яке ти прийматимеш за грошову суму першого, то другий матиме 10, третій — 60. Однак тут сума третього, складена з сумою першого, становитиме 100, тобто знову-таки буде більшою, ніж зазначена сума, а саме 60, і більшою на 40, що також буде надлишком.
Рис. 5
Виявивши у такий спосіб дві диференції, одержані від двох чисел, вибраних тобою помилково, проведи навхрест дві лінії подібно до літери X і біля її лівих відгалужень запиши «помилкові припущення» (тобто гіпотетичні помилкові числа — так вони, звичайно, називаються), а біля правих — знайдені диференції — першу в тому самому напрямі, що й перше \63\ гіпотетичне число, другу — в напрямі другого гіпотетичного числа, як у наведеному прикладі [рис. 5].
Поглянь тільки, чи обидві диференції є надлишком або нестачею, чи одна є надлишком, а друга нестачею, і постав літеру Е для позначання надлишку 22 і літеру D для позначення нестачі 23.
2. Досі йшлося про розміщення, а тепер скажемо про виконання дії. Спочатку помнож перше гіпотетичне число на другу диференцію, як у даному прикладі — 30 на 40, — вийде 1200. Потім друге гіпотетичне число — на першу диференцію навхрест, як тут — 40 на 20, — вийде 800. Потім, якщо диференції однорідні, тобто обидві будуть надлишком або нестачею, відніми спочатку менший добуток від більшого, як тут — 800 від 1200, — різниця буде 400. Так само меншу диференцію відніми від більшої, як тут — 20 від 40, — залишиться 20. Потім різницю добутків, одержану раніше, поділи на різницю диференцій. Частка покаже шукане число, як у даному прикладі, розділивши 400 на 20, — одержиш частку 20, — отже, це й є число, що має бути грошовою сумою першого, /40/ а знаючи це, вже легко визначити грошові суми другого і третього. Якщо диференції будуть неоднорідні, тобто одна — надлишком, а друга — нестачею, тоді спочатку додай один до одного добутки гіпотетичних чисел, потім додай також одну до одної вказані диференції, а після цього суму гіпотетичних чисел розділи на суму складених диференцій, і частка позначить перше шукане число.
Це правило може бути застосоване і для розв’язання інших питань, що відрізняються від. наведеного вище. Тільки необхідно особливо підкреслити ту обставину, що, хоч числа нам і невідомі, проте мають бути відомі деякі відношення між ними, принаймні, треба знати, які відношення існують між окремими числами, як це було в попередньому прикладі, або яке буде відношення всіх разом узятих чисел до одного з них. Як, наприклад, у там задачі: «Якийсь чоловік, що має трьох синів, питає в тебе, скільки років має кожен з них, вказуючи при цьому таке відношення між роками окремих синів: середній на 2 роки старший за молодшого, а найстарший має стільки років, скільки тим обом, разом узятим, і зверх того ще 6». Батько їхній має 58 років, і число його років складає суму років усіх синів. Тут, як бачиш, крім вказаного відношення між роками, а саме, що другий на певне число років старший за першого, а третій знову-таки на певне число років старший за другого, існує ще й таке співвідношення між роками кожного з синів і загальна сума років, узяті разом, становлять число 58, тобто стільки, скільки років має батько. Адже, якби не були позначені певним числом \64\ відношення між роками кожного з синів і загальна сума років їх усіх, то цю задачу не можна було б розв’язати. І навпаки, якщо зробити, як ми пропонуємо, то, звичайно, легко буде відшукати ці різні числа, бо між ними існують певні відношення. Інакше ми ніколи не зможемо розв’язати це питання, хіба тільки випадково. Отже, щоб ти розв’язав поставлене питання, уяви собі, наприклад, що наймолодший син має 10 років, середній тоді матиме 12, а третій — 28. Згідно з цим припущенням батькові буде 50 років: адже стільки становлять усі роки, складені в одну суму. Але ж було сказано, що він має 58 років. Отже, виявляється, що число 10, яким ми позначили кількість років молодшого сина, було помилковим, неправильним. Тоді, накресливши навхрест дві лінії, постав на місці гіпотетичного числа 10, на місці диференції — 8 і напиши поруч з диференцією літеру D, тобто defectus. Якщо б ти зважився ще на одне припущення, позначивши роки наймолодшого сина числом 13, то другий мав би тоді 15, а третій — 34 роки, батько згідно з цим припущенням /40зв./ мав би 62, тобто більше, ніж він мав насправді. Отже, й це припущення «хибне», бо 62 більше від 58 на 4, що й буде диференцією з надлишком. Напиши тепер біля перехрещених ліній на місці гіпотетичного числа 13, а на місці диференції — 4 і поруч з диференцією постав літеру E, що значить excessus [рис. 6].
Тепер помнож перше гіпотетичне число на другу диференцію, — одержиш число 40, потім друге гіпотетичне число помнож на першу диференцію, — матимеш добуток 104. І оскільки диференції різні — одна з надлишком, друга з нестачею, то згідно з другою настановою, викладеною вище, склади спочатку добутки обох гіпотетичних чисел, — вийде 144. Потім склади диференції одіну з одною, — буде 12. І нарешті розділи на цю суму складених диференцій суму добутків гіпотетичних чисел, тобто 144, — одержиш частку 12. Отже, це й є число років молодшого сина, бо середній матиме 14, старший 32, а батько — 58.
Рис. 6.
І цього, я вважаю, досить для розуміння основних арифметичних правил. Більшість тих задач, що будуть наведені нижче, відноситься скоріше до приємних і цікавих вправ, ніж до застосування в геометрії. Залишається тепер нам перейти до спеціальної арифметики, а саме до такої, яка розглядається в геометрії.
Проте хочеться мені закінчити цю книжку декількома цікавими арифметичними загадками (подумками), розв’язання яких залежить від того, як ви засвоїли щойно викладені правила. \65\
Розділ одинадцятий
ДЕЯКІ ЗАГАДКИ, АБО ПРИВХІДНІ ПИТАННЯ АРИФМЕТИКИ
Майже всі правила, викладені вище, ми супроводили відповідними прикладами. І тому бажано тепер додати ще кілька цікавих загадок, які допомогли б закріпити матеріал як численними прикладами, так і систематичним впертим тренуванням. Ти тільки добре обміркуй, яке правило дасть тобі можливість розв’язати ту чи іншу загадку. Отже, нехай першою загадкою буде те висловлене віршами питання, яке наводить Гемма Фрізій 24, запозичивши його в Йоахіма Геллера: /41/
1-ша ЗАГАДКА
Acer in Aemonia fugientem valle Lycisca
Insequitur leporem picta per arva vagum,
Ніс decies quinis praecedit saltibus ille
Instat et exultans per iuga lacta ruit.
Dumque quater saliendo lepus consurgit in altum,
Ніс toties teneris saltibus evehitur
Ac tantam geminis percurrit saltibus agri,
Interea quantum conficit ille tribus.
Dic mihi iam, quoties saltus iterante Lycisca
Contigit infesto praeda petita cani? 25
Тут, як ти бачиш, слід застосувати пряме золоте правило, адже стоїть таке питання: коли заєць робить 3 стрибки, собака робить 2. Отже, скільки зробить стрибків собака за той час, за який заєць зробив 15?
Обчисливши це, ти побачиш, що собака зробив 10 стрибків, щоб наздогнати зайця.
Друга загадка, Евклідова, перекладена латинською мовою Філіппом Меланхтоном 26. Вміщено її у Гемми Фрізія:
2-га ЗАГАДКА
Mulae asinaeque duos imponit servulus utres,
Impletos vino, segaemque ut videt asellam
Pondere defessam vestigia figere tarda,
Mula rogat: «Quid cara parens cunctare gemisque?
Unam ex utre tuo mensuram si mihi reddas,
Duplum oneris tunc ipsa feram, sed si tibi tradam
Unam mensuram, fient aequalia utrique
Pondera». Mensuras dic, docte geometer, istas 27.
Тут доречно буде застосувати правило «хибного припущення». Уяви собі, що мул має 5 мір вина, — отже, ослиця \66\ має 4, бо, якщо відняти 1 від 4 І додати до 5, то залишиться 3, а тут буде 6, тобто вдвічі більше, ніж там залишилося. Проте, коли від 5 відняти 1 і додати до 4, то обидва числа не будуть однаковими, бо тут буде 5, а там 4, тобто на 1 менше, ніж 5. Значить, це було неправильне припущення. Тоді запиши собі 5 — перше гіпотетичне невірне число і 1, яка є нестачею до шуканої рівності. Після цього зроби друге припущення: признач нулеві нести будь-яке інше число мір, наприклад 9. Отже, ослиця матиме 6, бо, якщо 1 відняти від 6 І додати до 9 — буде 10, а залишиться б, що складає половину 10. Проте, якщо 1 відняти від 9 і додати до 6, знов два числа не будуть рівними, бо тут буде 7 /41зв./, а там 8, тобто на 1 більше, ніж треба для їх рівності. І це припущення теж було «хибним». Після цього запиши тут також число 9 і надлишок її і виконуй дію за вказаним вище способом, а саме: додай 9 до 5, — одержиш 14, додай також 1 і 1 — буде 2, розділи 14 на 2, — вийде частка 7. Отже, 7 мір несе мул, а звідси можна зробити висновок, що ослиця несе 5, бо, якщо від 5 відняти 1 і додати її до 7, — буде 8, а там 4, тобто половина в. І знову-таки, якщо 1, яку ми відняли від 7, додати до 5, то обидва числа будуть однакові 28.
Оскільки перевірка 29 всіх задач під час лекцій потребує багато часу, я пропоную, щоб кожен з вас ось ці останні загадки розв’язав самостійно.
Таким чином, нехай далі буде 3-тя загадка.
3-тя ЗАГАДКА.
Розповідають, що Олександр Великий 30 задав таке запитання філософу Каллісфену 31 щодо віку своїх) і своїх двох друзів — Ефестіона і Кліта: «Я, — сказав він, — старший від мого Ефестіона на 2 роки, а Кліт старший від нас обох, разом узятих, на чотири роки». Цю загадку Каллісфен розв’язав за допомогою іншої загадки, сказавши: «Цим питанням лро вік свій і своїх друзів, о царю, ти викликав у мене згадку про мого батька, якому було 96 років, тобто стільки, скільки вам усім трьом разом».
Питається, скільки років було в той час Олександру, Ефестіону і Кліту.
За допомогою правила «хибного припущення» ми знайдемо, що Ефестіону було 22 роки, Олександру — 24, Кліту — 50: адже, якщо скласти це в одну суму, то ми одержимо 96 років. \67\
4-та ЗАГАДКА
Крім того, цікавим і дуже легким є відгадування будь-якого невідомого тобі місця в якомусь ряду, коли, наприклад, на вечірці хто-небудь з гостей сховає якусь річ, і людину, яка цього не бачила, спитають, хто саме з гостей її сховав. Тобі не важко буде дізнатися про це за допомогою додавання, множення, ділення і віднімання. Однак не завжди слід застосовувати всі ці дії, можна обмежитися лише деякими з них за своїм вибором. Робиться це так: спочатку запропонуй, щоб гості не порушували порядку, а сиділи так само, як і раніше; потім скажи, щоб до числа невідомого місця додали інше число, яке ти назвеш за своїм бажанням, наприклад, 5. Це останнє число накажи помножити само на себе і до добутку знов додати будь-яке інше число, нехай це буде 36, а від усієї суми відняти яке-небудь число, наприклад, 7. Потім спитай, яку різницю одержали вони після віднімання, адже треба знати, яка в тебе утворилася /42/ сума наприкінці, лісля дій з усіма числами без урахування числа, що позначає невідоме місце, бо, якщо цю суму ти відкинеш від останнього результату, названого приятелями, то різниця вкаже тобі місце й приятеля, що сидить на тому місці, про яке тебе запитали. І коли останній результат після всіх дій з цим задуманим числом, а саме після віднімання 7, буде 54, то, якщо, наприклад, третій, що сидить в цьому ряду, заховав якусь річ, тобі назвуть як останній результат — 57. Якщо від 57 відняти твоє число, тобто 54, то залишиться число 3, і воно визначить тобі невідомого. Якщо взяв би цю річ 20-й, тобі назвали б 74 як останній результат; якщо ти відкинеш від нього 54, — залишиться 20 і т. д. Між іншим, зверни увагу на те, що перше число, яке ти наказав додати, не можна множити само на себе або на інше разом з доданим до нього невідомим числом, а тільки його окремо, і так продовжуй далі. Вся таємниця тут полягає в тому, що людина, яка задає питання, сама вказує тобі невідоме число, але завдяки різним твоїм хитрощам і маневруванням не помічає, що робить це. Якщо ж ти сам схотів або наполягав на цьому, запитуючи, щоб твої числа множилися і складалися разом з задуманим ним невідомим числам, то ти легко досягнеш цього за допомогою такого окремого питання: по-перше, накажи подвоїти невідоме тобі число, потім додати 5, після того все це помножити на б, а добуток знов помножити на 10 і спитай, який вийшов результат. Коли ти віднімеш від нього 260, то перший знак зліва в одержаній різниці покаже задумане невідоме число. Ти міг би і сам створити також інші варіанти загадок і, користуючись тим самим способом обчислення, міг би відгадати будь-яке задумане кимсь число. \68\
5-та ЗАГАДКА
Не менш легкою, але набагато цікавішою є ось ця інша загадка, яка, крім того, викликає у не обізнаних людей велике здивування. Нехай, наприклад, треба відгадати, хто з гостей, що сидять у певному порядку, взяв перстень і на яку руку, на який палець і на який суглоб цей перстень наклав. Здається, що про де взагалі неможливо дізнатися. Отже, накажи, щоб усі сиділи в такому самому порядку, як і раніше, не порушуючи його. Потім запропонуй подвоїти порядковий номер тієї особи і до цього подвоєного числа додати 5. Все ще слід помножити на 5, а потім до добутку додати число, що позначає руку: 1, якщо це права рука, 2 — якщо ліва. Одержане число знову-таки накажи помножити на 10 і до добутку додати порядковий номер пальця. Ця сума множиться на 10 і до добутку додається число, що позначає суглоб. Після цього скажи, щоб тобі назвали цей останній результат, /42зв./ і відніми від нього 2500. — різниця своїми окремими знаками вкаже тобі всі ті предмети, про які йшлося в запитанні. Так, перший знак зліва вкаже особу, другий — руку, третій — палець, четвертий — суглоб. Так само можна ставити і розв’язувати питання і щодо інших предметів. Якщо ти хочеш довідатися, в якому році від Різдва Христового, ,в якому місяці, якого дня, о котрій годині, о котрій чверті щось відбу- , валося. Зверни тільки увагу на те, щоб число, яке ти віднімаєш, завжди починалося, якщо рахувати зліва, з двох значущих цифр — 2 і 5, а останніми знаками щоб були нулі. І в цілому має бути стільки всіх знаків, скільки задумано предметів, про які запитується в загадці. Так, в попередній загадці згадувалося п’ять предметів: рік, місяць, день, година, чверть, і таму від загального результату, одержаного після всіх дій, слід відняти 25 000, тобто п’ять знаків. Таким чином, ніколи не треба поширювати значущу частину числа, а тільки ту, що складається з нулів.
6-та ЗАГАДКА
До цього необхідно додати також проблему Арістотеля, бо, хоч вона і не зовсім стосується арифметики, проте в ній йдеться про числа. Арістотель запитує: «Чому всі люди, як варвари, так і греки, воліють рахувати до 10, а не до якогось іншого числа, як, наприклад, до 2-х, в-х, 4-х, 5-ти. І знову-таки, не виходячи за межі 10-ти, як, наприклад, до 11-ти, 12-ти, всі повертаються потім до початку. І хоч яке завгодно число містить у собі попереднє число і, крім того, одну або будь-яку іншу кількість одиниць, але число 10 є ніби першою встановленою для чисел межею. А що це зроблено \69\ було не навмання і не випадково, видно з того, що жоден народ ніколи не вживав для цього іншого числа. Адже те, що завжди робиться за спільним розсудом усіх людей, робиться не випадково, а підказується природою речей. Пояснюють це по-різному:
1) десятці віддають перевагу або тому, що вона містить у собі всі види чисел: парне, непарне, квадратне, кубічне, лінійне, площинне, просте, складне;
2) або через те, що число 10 є початком або основою всіх чисел, адже виникло воно з 1, 2, 3 і 4, об’єднаних в одну суму;
3) або тому, що це число, згідно з природою речей, гармонійно склалося з 9 рухомих тіл;
4) або тому, що в 10 аналогічних [відповідностях] містяться ніби 4 кубічні числа, з яких, на думку піфагорійців, побудований весь наш Всесвіт;
5) або з тієї причини, що природа дала кожній людині по 10 пальців, звелівши, щоб усі останні предмети розподілялися так само, /43/ згідно з їх кількістю і обчислювалися ними, ніби вони є відповідні до чисел своєрідні рахувальні камінці.
І лише у фракійців існує якесь плем’я, яке, рахуючи, не виходить за межі 4, тому що, подібно до дітей, вони не можуть надовго запам’ятати щось і не ділять свої речі на численні частини». Так вважав Арістотель 32, а з усіх його міркувань найвірогіднішим є останнє, в якому він найближче підходить до суті справи.
7-ма ЗАГАДКА
Не забудьмо згадати також один хитромудрий, я б сказав, жарт, придуманий ,на підставі якогось дивного таємничого порядку розміщення, який люди іноді називають приреченням (долею). Так, існує притча про те, що колись пливли християни разом з юдеями на одному кораблі, — всіх людей було там багато, але тих і других порівну. І ось, як це часто буває, несподівано почалася буря, і корабель почав тонути. Тоді, підбурювані забобонами або релігійними переконаннями, всі зійшлися на тій думці, що треба всім вишикуватися в одну спільну шеренгу, і як християн, так і юдеїв, на яких припадатиме певне порядкове число, викинути з корабля в море, і робити так доти, доки залишиться половина всіх людей, а друга половина загине. Вирішили вишикувати в шеренгу 30 чоловік, від кожного народу по 15, і спочатку призначили викинути кожного десятого. І ось якийсь християнин, обдарований великим розумом і винахідливістю, в такому порядку \70\ розмістив християн впереміж з юдеями, що кожний десятий обов’язково був юдеєм, а не християнином.
Отже, під час першого жеребкування загинули всі 15 юдеїв, а всі християни залишилися живими. Під час другого жеребкування юдеї відмовилися довірити свою долю числу 10, а наполягали на тому, щоб загинув кожний дев’ятий. Але той самий чоловік знав розмістив їх так, що всі дев’яті номери припали на юдеїв. Так само було, коли після цього він призначив до загибелі восьмого, а потім сьомого і шостого. І так були потоплені всі юдеї.
Для такого роду розміщень складені віршики, в яких слід звернути увагу на окремі головні, і християни та юдеї мають бути поперемінно розміщені під тим порядковим номером, яким позначають окремі голосні в ряді голосних 33. Це такі вірші (починається з християн): /43зв./
Для того, щоб викинули десятого:
Réx Angli, cum génte bóna dát signá seréna.
Для дев’ятого:
Pópuleám virgam mater regina tenebat.
Для восьмого:
Áureá matré dea genitos admitte leones. Falsus est 34.
Для сьомого:
Martia martigenis intentat tempore famam. Falsus hic etiam 35.
Для шостого:
Hasta ferit miseras, teneras deponit alauclas,
Цього досить для розваги, а тепер вже перейдемо до серйозних питань. \71\
